高等数学教案word版

篇一:高等数学上册教案

篇二:《高等数学》教案

《高等数学》授课教案

第一讲 高等数学学习介绍、函数

了解新数学认识观,掌握基本初等函数的图像及性质;熟练复合函

数的分解。

>函数概念、性质(分段函数)—>基本初等函数—>>初等函数—>例子(定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像)

授课提要:

前 言:本讲首先是《高等数学》的学习介绍,其次是对中学学过的函数进行复习总结(函数本质上是指变量间相依关系的数学模型,是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象,因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解)。

一、新教程序言

1、为什么要重视数学学习

(1)文化基础——数学是一种文化,它的准确性、严格性、应用广泛性,是现代社会文明的重要思维特征,是促进社会物质文明和精神文明的重要力量;

(2)开发大脑——数学是思维训练的体操,对于训练和开发我们的大脑(左脑)有全面的作用;

(3)知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础,是我们生活和工作的一种能力和技术;

(4)智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力,这种能力为人的一生提供持续发展的动力。

2、对数学的新认识

(1)新数学观——数学是一门特殊的科学,它为自然科学和社会科学提供思想和方法,是推动人类进步的重要力量;

(2)新数学教育观——数学教育(学习)的目的:数学精神和数学思想方法,培养人的科学文化素质,包括发展人的思维能力和创新能力。

(3)新数学素质教育观——数学教育(学习)的意义:通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”]

二、函数概念

1、函数定义:变量间的一种对应关系(单值对应)。

(用变化的观点定义函数),记:y?f(x)(说明表达式的含义)

(1)定义域:自变量的取值集合(D)。

(2)值 域:函数值的集合,即{yy?f(x),x?D}。

例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域?

2、函数的图像:设函数y?f(x)的定义域为D,则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。

例如:熟悉基本初等函数的图像。

3

例如:符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域:不同自变量取值范围的并集。

?x2,x?0例2、作函数f(x)??的图像?

?2x,x?0

?x2,x?0例3、求函数f(x)??的定义域及函数值f(?1),f(0),f(1)?

?1,x?0

四:设y=f(u),u=g(x),且与x对应的u使y=f(u)有意义,则y=f[g(x)]是x的复合函数,u称为中间变量。

(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。

如:y?lnu,u??x2就不能构成复合函数。

(2)复合函数的定义域:各个复合体定义域的

(3)复合函数的分解从外到内进行;复合时,则直接代入消去中间变量即可。例5、设f(x)?x2,g(x)?2x,求f(g(x)),g(f(x))?

例6、指出下列函数由哪些基本初等函数(或简单函数)构成? (1)y?ln(sinx2) (2) y?e?2x(3) y??arctan2x

五、初等函数:由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数,且用一个表达式所表示。

1)一般分段函数都不是初等函数,但y?x是初等函数;

(2)初等函数的一般形成方式:复合运算、四则运算。

1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素? [定义域、对应法则]

2、 思考函数的几种特性的几何意义? [奇偶性、单调性、周期性、有界性]

3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数?你是否可以用例子说明?[不能]

一位旅客住在旅馆里,图1—5描述了他的一次行动,请你根据图形给纵坐标赋予某一个物理量后,再叙述他的这次行动.你能给图1—5标上

具体的数值,精确描述这位旅客的这次行动并用一个

函数解析式表达出来吗?

函数本质上是指变量间相依关系的数

学模型,是事物普遍联系的定量反映;复合函

数反映了事物联系的复杂性;分段函数反映事

物联系的多样性。

P4(A:2-3);P7(A:2-3) 课堂练习(初等函数)

【A组】

1、求下列函数的定义域?

x?ln(4?x2) (1)y?x2?1 (2) y?ex(3) y?log(x-1)(4) y?2x?1

2、判定下列函数的奇偶性?

(1) y?f(x)?f(?x) (2) y?ex?e?x(3) y?x2n?1(n为自然数)

3、作下列函数的图像?

x2?1(1) y? (2) y?e?x(3) y?sinx x?1

4、分解下列复合函数?

1(1) y?x2?1 (2) y?esinx (3)y? (4)y?ln2(cosx) ?sin3x

【B组】

1、证明函数y?ln(x?x2?1)为奇函数。

2、将函数y?x??2x?

改写为分段函数,并作出函数的图像?

113、设f(x?)?2?x2,求f(x)? xx

14、设f(x)=,求f[f(x)],f?f[f(x)]?? x

初等函数图像认识

1、幂函数:(如y?x,y?x2,y?x3)

2、指数与对数函数:(如y?ex,y?lnx)

3、三角函数与反三角函数:(y?cosx,y?arccosx)

14、多项式函数:(y?x3?x2

?3x?3) 3

5、分段函数:(y?x,y?sgnx)

第二讲导数的概念(一)、极限与导数

复习极限的概念及求法;理解导数的概念,掌握用定义求导数方法。

>导数的引入(速度问题)—>导数的概念 >基本初等函数的导数(定义法)—>例子(简单)

授课提要:

前 言:在前面的教学中,我们已讨论了变量间的关系(函数),本节将复习函数的变化趋势(极限),在此基础上讨论函数的变化率问题(即函数的导数)。导数是高数的重点,它的本质是极限(比值的极限),在现实中有极丰富的应用。

一、理论基础——极 限(复习)

1、极限的概念(略讲函数在某点的极限定义)

2、极限的四则运算法则(略)

3、求函数的极限(几类函数的极限)

(1)若f(x)为多项式,则limf(x)?f(x0) x?x0

例1:求下列极限

(x2?2x?1) (2) lim(x2?2x?1) (3) lim(x2?2x?1) (1)limx?1x?0x?2 f(x)f(x)f(x0)(2)若g(x)为有理分式且g(x0)?0,则lim(代入法) ?x?x0g(x)g(x0)

例2:求下列极限

x?1x2?2x?2x2?1limlim(1) limx?12x?1 (2) x?0x2?3 (3) x?1x?1

f(x)

(3)若分式g(x),当x?x0时,f(x0)?g(x0)?0,则用约去零因子法求极限

篇三:高等数学教案Word版第一章1

第一章函数与极限(4课时)

Ⅰ 授课题目(章节)

1.1 映射与函数

Ⅱ 教学目的与要求:

1. 理解集合、区间、邻域等基本概念,掌握集合的运算及构造法

2. 理解函数的概念;明确函数定义有两个要素;依赖关系、定义域;掌握函数表

达式的运用

3. 了解函数的基本性质;知道判定诸性质的思路 4. 掌握将复合函数由外及里分解为简单函数的方法 Ⅲ 教学重点与难点

重点:理解集合、邻域的概念 难点:函数的性质 Ⅳ 讲授内容

一.集合

1. 集合概念

集合是指具有某种特定性质的事物的总体,组成这个集合的事物称为该集合的元素(简称:元)

注:本课程中所有说的集合必须具有明确的界定,即对任何一个对象都可以按标准判断其是否属于所说的“总体”

介绍子集、真子集、空集、集合的相等,等概念 2. 集合的运算

集合的基本运算有以下几种:并、交、差、直积 介绍全集(基本集)与余集(补集)的概念 3.区间和邻域

设?>0,点X0的?领域是指满足X?X0??的一切实数X的集合。X0称为改邻域的中心,?成为该邻域的半径

二.映射

1. 定义:设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元

素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:X?Y、

其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y?f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像

注:映射是指两个集合之间的一种对应关系。判断两集合之间的对应关系是否构成一个映射,关键是抓住两个要点:第一,对于第一个集合中的每一个元素,按照规则能否在另一个集合中找到一个与之对应的元素;第二,对于第一个集合中的每一个元素,第二个集合与之对应的元素是不是唯一的 2. 逆映射

定义:设fX到Y的单射,则由定义,对每个y?Rf,有唯一的

x?X,适合f(x)?y。于是,我们可定义一个从Rf到X的新映射g,即

g:Rf?X,对每个y?Rf,规定g(y)?x,这x满足f(x)?y。这个映

射g称为f的逆映射,记作f2. 复合映射:

?1

,其定义域Df?1?Rf,值域Rf?1?X

定义:设有两个映射g:X?Y1,f:Y2?Z,其中Y1?Y2,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x?X映成f?g(x)??Z。显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作f?g,即f?g:X?Z,(f?g)(x)?f?g(x)?,x?X 三.函数

1. 函数的概念

定义:设数集D?R,则称映射f:D?R为定义在D上的函数,通常简记为 y?f(x),x?D,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即Df?D

函数定义中,对每个x?D,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x出的函数值,记作f(x),即y?f(x)。因变量y与自变量x之间的这种依赖关系,通常称为函数关系。函数值y?f(x)的全体所构成的集合称为函数 f的值域,记作Rf或f(D),即Rf?f(D)??yy?f(x),x?D?

注:函数的概念中涉及五个因素:(1)自变量(2)定义域(3)应变量(4)对应规律(5)值域;在这五个因素中最重要的是定义域和因变量关于自变量的对应规律,这两者常称为函数的二要素 介绍单值函数与多值函数的概念 例.判断下列各对函数是否相同

(1) f (x)=lnx2 g(x)=2lnx(2) f (x)=1 g(x)=sin

2

x+cos

2

x

2

(3) f (x)=|x| g(u)=u

解:(2)中的f(x)与g(x)相同,(3)中的f(x)与g(x)相同 例.求下列函数的定义域(1) f(x)?

x?1x?5x?6

2

2

?

3

4x?1

(2 ) f(x)?log(3 ) f(x)?

log

4

log7

x

1x?2

?

1x

解:(1)Df??xx?2且x?3? (2)Df??xx?7?

(3)Df??xx?0且x??2? 2. 函数的几种特性

(1) 函数的有界性 (2) 函数的单调性 (3 )函数的奇偶性

定义:教材P12?P13 例:判断f(x)?ln解:f(?x)?ln(

x?1?x的奇偶性

2

2

?

(?x)?1?x?ln

1x?1?x

2

??f(x)

?f(x)为奇函数 (4) 数的周期性

3.反函数于复合函数

(5) 反函数定义:设函数f:D?f(D)是单射,则它存在逆映射

f

?1

:f(D)?D,称此映射f

?1

为函数f的反函数。

按此定义,对每个y?f(D),有唯一的x?

高等数学教案word版

D,使得f(x)=y,于

1是有f?(y)?x。这就是说,反函数f

?1

的对应法则是完全由函数

f的对应法则所确定的

与反函数问题有关的题型主要有两类:判断给定函数是否存在反函数

或求给定函数的反函数

对严格单调函数有以下结论严格单调函数必存在反函数

(6) 复合函数有关的问题大致可分为两类:一是判断若干个函数能否构

成复合函数;二是将一个复合函数分解为若干个简单函数

复合函数的定义:设函数y?f(u)的定义域为D1,函数

u?g(x)在D上有定义,且

g(D)?D1

,则由下式确定的函数

构成的复合函数,它的?,x?D称为由函数u?g(x)和函数y?f(u)y?f?g(x)

定义域为D,变量u称为中间变量。函数g与函数f构成的复合函数通常记为

? f?g,即(f?g)(x)?f?g(x)

3. 函数的运算

4. 初等函数 定义:由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数 5. 双曲函数与反双曲函数

Ⅴ小结与提问:

小结:本讲内容十分重要,特别是缺点函数的两个要素务必弄懂;分段函数也须引起重视;函数的几种特性直接通过论证来判断;函数的反函数的存在性需重视。复合函数是本讲重点之一,掌握它,对学好微分与积分有很大的作用;要善于分析一个初等函数的结构

提问:是否y?f(u),u?g(x)一定能复合成y为x的函数? Ⅴ 课外作业

P21 6 (4)(6) 7 (3) 8. 12 .14(3) 17